8. ПРОИЗВОДНАЯ и ИНТЕГРАЛ
Теперь пора познакомиться с математикой, которая поможет вам быстро и просто решать задачи механики.
И не только механики. Можно безо всякого преувеличения заметить, что производные и интегралы используются при описании физических моделей реального мира во всех разделах физики.
Итак, вернемся к рассмотренным в параграфах 3, 4, 5 понятиям пути, скорости и ускорения. Рассмотрим подробнее соотношения между координатами материальной точки, ее скоростью и ускорением в каждый момент времени.
Ограничимся, для начала, случаем одномерного движения.
Нарисуем произвольный график зависимости скорости V(t) материальной точки от времени t.
Рисунок 6
В произвольный момент времени t1 мгновенная скорость V1 = V(t1).
Запомним два утверждения:
1) Тангенс угла наклона касательной к графику V(t) в точке (в момент времени) t1 равен по величине значению ускорения а(t1) материальной точки в этот момент времени t1.
2) Площадь под кривой V(t) от t1 до t2 равна по величине пути, пройденному материальной точкой за время от момента t1 до момента t2 со скоростью, описываемой функцией V(t).
Строго математически это можно записать:
1.
- "ускорение" есть первая производная функции скорости по времени.
Просто запомните! Тангенс угла наклона касательной к функции f(t) в точке t есть значение первой производной этой функции в этой точке t !
Для нас с вами в данный момент, не вдаваясь в "глубины" дифференциального исчисления, важно следующее:
· Для любой функции скорости материальной точки от времени V(t) существует функция a(t), которая определяет ускорение нашей материальной точки в любой момент времени t, в который определена функция скорости V(t). И, что самое приятное, мы можем в подавляющем большинстве случаев очень просто найти одну функцию из другой. И наоборот.
Как мы помним, «вычисление производной» в математике называется операцией «дифференцирования», или «операцией взятия производной» (видимо, по аналогии «взятия крепости»).
Для некоторых функций эта операция по своей сложности, действительно, сравнима со взятием укрепленной крепости или покорением неприступной вершины. Но, к счастью, в курсе средней школы производные большинства функций можно просто брать из готовых таблиц. Либо, вообще, в интернет-сервисах.
Просто задаете функцию - получаете производную!
Напомним основные правила дифференцирования:
Приведем таблицу производных простейших функций:
2. Площадь под кривой, заданной функцией V(t) на отрезке от t1 до t2 есть значение "определенного интеграла" этой функции на отрезке [t1;t2]. Про первообразную функции мы уже знаем.
Математически, определенный интеграл – это разность значения первообразной в конечной точке отрезка t2 минус значение первообразной в начальной точке отрезка t1. Он равен величине площади под кривой. На рисунке 2 эта площадь закрашена серым цветом.
где X1,2(t1,t2) – перемещение, совершенное материальной точкой от момента времени t1 до момента времени t2.
!!! Заметим, что формула (32) вычисляет именно «перемещение», потому что пройденный путь - это всегда положительная величина. Мы прошли километр в одну сторону, затем километр в обратную - в результате, пройденный путь равен двум километрам, а перемещение равно нулю. Мы никуда не переместились, вернувшись в исходную точку. Пройденный путь будет равен перемещению, только если мы движемся все время в одну сторону по прямой.
По формуле (32) мы вычисляем перемещение, как разность координат в конечный момент времени и в начальный момент времени.
Для нас важно запомнить:
Первое. Неопределенный интеграл (так называемая «первообразная») какой-либо функции f(t) - это такая функция, продифференцировав которую мы получим обратно саму функцию f(t). В математике первообразную функции часто обозначают заглавной буквой, например, для функции f(t)первообразную можно обозначить F(t). Определенный интеграл на каком-либо отрезке области определения функции f(t) – это, по сути, разница значений первообразной этой функции F(t) в конечной и начальной точках отрезка.
Второе. Если мы интегрируем функцию скорости V(t) от точки t1 до точки t2, то интегралом будет перемещение X(t2) – X(t1).
Резюме:
· Если мы знаем функцию зависимости координаты X(t) точки от времени t, то, найдя производную этой функции по времени t (обозначим эту производную V(t)), мы получим функцию зависимости мгновенной скорости точки от времени.
· Если мы далее продифференцируем полученную функцию скорости V(t) по времени t, то получим "первую производную" скорости по времени - функцию a(t) - функцию зависимости мгновенного ускорения от времени.
Причем, все это чистая математика. Более того, в большинстве случаев функции можно брать прямо из специальных таблиц производных.
А что, если мы продифференцируем функцию a(t)?
В результате (в общем случае) мы получим некую функцию зависимости мгновенного изменения ускорения от времени. Это будет функция, которая позволит нам видеть, как сильно в каждый момент времени меняется ускорение движения нашей точки. В принципе, можно долго продолжать эти операции последовательного дифференцирования. И, заметьте, все время мы будем получать функции, которые наделены физическим смыслом.
К счастью, в рамках школьной программы мы ограничимся равноускоренным движением. Т.е. таким движением, при котором значение ускорения не изменяется. Оно равно некоторой "константе" (постоянной величине, не изменяющейся с течением времени).
A(t) = const.
А производная от константы всегда равна нулю! И, соответственно, дальше, хоть задифференцируйся, будет
A'(t) = ... = A''...'(t) = 0.
Все последующие производные будут равны нулю.
|
Комментариев нет:
Отправить комментарий