Ну вот мы и добрались до последнего закона в первом томе. Закон сохранения момента импульса, с одной стороны, очень прост, с другой стороны достаточно важная для понимания физических явлений и большая тема. Настолько важная, что ей, возможно, стоило уделить целую отдельную главу. Но так как задач, в которых бы использовался данный закон сохранения совсем немного (почти нет), то мы выделим большой параграф. К тому же этот параграф позволит вам увязать воедино все, что изложено в предыдущих главах первого тома.
Итак, «если на систему частиц не действуют никакие внешние моменты сил, то ее момент количества движения остается постоянным».
Это очень просто понять и представить по аналогии с законом сохранения импульса. Если на тело (систему частиц) в инерциальной системе отсчета не действуют никакие внешние силы, то суммарный импульс системы остается постоянным.
Закон сохранения импульса - он про поступательное движение. А закон сохранения момента импульса – он про вращение. Можно очень упрощенно сказать, что в инерциальной системе отсчета (а в частных случаях и в неинерциальной) если нет внешних сил, направленных на «раскручивание» тела (системы частиц), то скорость вращения остается постоянной.
На этом можно остановиться. Все дальнейшее изложение можно считать факультативным. Для любителей физики!
Итак, начнем с самого начала. Мы упомянули в формулировках двояко, и тело, и систему частиц. Ну конечно же, любое тело – это система частиц. Например, любое тело состоит из атомов, которые между собой как-то взаимодействуют. И еще тело может испытывать воздействия извне. То есть не только со стороны «своих частиц», а и от посторонних сил. Приведем пример. Возьмем футбольный мяч. У него есть оболочка, и есть воздух внутри, который своим избыточным давлением поддерживает шарообразную форму оболочки. Вы прекрасно можете себе представить, какие силы действуют между частицами мяча, если мы будем рассматривать мяч, как систему частиц. А еще есть притяжение Земли, которое ускоряет мяч вниз. А еще есть еще футболист, который может приложить к мячу силу, которая ускорит его, например, вверх. По отношению к мячу, как системе частиц, сила притяжения Земли и сила удара футболиста – это внешние силы. Понятно?
Но когда мы с вами решали задачи про движение мяча, мы представляли мяч, как материальную точку. То есть мы считали, что где-то «в мяче» (внутри или на поверхности, или даже снаружи) есть такая точка, что движение всего мяча можно приблизительно свести к задаче движения этой точки, в которой как бы сосредоточена вся масса мяча. При этом заметим, мы с вами подразумевали, что эта точка расположена в геометрическом центре мяча (в центре центральной симметрии). Насколько это справедливо? И можем ли мы считать мяч неизменным объектом? И будут ли наши законы движения материальной точки применимы к мячу, в котором есть дырка и в котором нет избыточного давления? Или наши законы только для твердых тел?
Отвечаем по порядку.
Заметим сразу, что, по крылатому выражению Ричарда Фейнмана, все механические «явления не содержат в себе ничего большего, чем комбинации законов Ньютона».
Начнем с рассмотрения твердых тел. Твердое тело – это такой объект «с очень сильными внутренними связями». Такими сильными, что внешние силы, приводящие его в движение, не могут его деформировать. В любой системе координат твердое тело может двигаться поступательно, а может вращаться. А может одновременно и двигаться поступательно, и вращаться. Получается довольно-таки сложная для описания система.
Интуитивно понятно, что если бы мы могли разделить описание движения твердого тела на отдельно поступательное движение и отдельно вращательное, то наша задача очень бы упростилась. Но как это сделать? Движение какой точки нашего твердого тела можно считать поступательным движением всего тела и относительно чего рассматривать вращение?
Фейнман дал определение так называемой «первой теоремы о сложных объектах»: «Существует какая-то «средняя» точка, вполне определенная математически, которая при любой комбинации внешних сил, действующих на тело, получает ускорение под действием результирующей всех этих сил как будто бы в этой «средней» точке сосредоточена вся масса тела». Представьте, что мы подкинули какой-либо предмет сложной формы в поле тяготения! Все его «точки» (частицы) будут двигаться довольно сложным образом (вращаться, колебаться и т.п.). Но у этого предмета есть «вполне определенная математически точка» которая будет двигаться под действием силы тяжести строго по параболе, как и положено двигаться материальной точке в поле тяготения. Мы можем предположить, что в случае с мячом правильной формы и симметричного распределения массы такой точкой будет его геометрический центр.
Как вы, наверное, уже догадались, изложенная выше теорема – это так называемая «теорема о центре масс».
Как у всякой теоремы, у нее есть свое доказательство. Мы его приведем, поскольку это поможет нам лучше разобраться в вопросе разделения движения тел (да и вообще любого «скопления частиц») на поступательное и вращательное.
Рассмотрим наш «объект», как множество маленьких частиц (например, атомов). Их очень много. Пусть даже очень, очень много. Например, 1023 штук.
Обозначим номер одной из частиц i. i принадлежит множеству {1,2,3,4,...,1023}.
Сила F1, действующая на i-ю частицу:
Так как масса у нас постоянна (движение нерелятивистское), то можно массу занести внутрь операции дифференцирования и записать:
Мы получили, что у нас полная сила F, действующая на объект, равна второй производной от суммы произведений масс на положения (вектора положений!).
Но полная сила, действующая на все частицы, это тоже самое, что и внешняя сила! Почему?
Потому, что справедлив Третий закон Ньютона! Сила действия равна силе противодействия. Следовательно, какие бы силы не действовали между частицами внутри объекта, они попарно сокращаются друг с другом. Остаются только внешние силы. То есть внешняя сила, действующая на объект, равна сумме всех сил, действующих на все частицы объекта.
Пусть M – сумма масс всех частиц объекта, т.е. полная масса объекта. Определим вектор R:
Таким образом, мы с вами получили, что внешняя сила, действующая на объект, равна полной массе объекта, умноженной на ускорение некоторой точки, которая расположена где-то в «середине» объекта. «Середина» - это некий вектор R в котором составляющие вектора ri учитываются пропорционально массам mi.
Эта «средняя» точка называется «Центр масс». Центр масс интересен тем, что если на тело (объект) не действуют никакие внешние силы, то этот центр будет или покоиться, или двигаться прямолинейно и равномерно в инерциальной системе отсчета. Ничего не напоминает?
И еще важно то, что этот центр масс (его движение) можно рассматривать отдельно от всех внутренних движений объекта. И, следовательно, его движение можно не учитывать при изучении вращения объекта. Благодаря наличию такой точки (центра масс) в объекте у нас с вами есть возможность отдельно описывать поступательное и вращательное движение любого объекта.
Заметим, кстати, что объектом может являться не только твердое тело, но и вообще любое произвольное распределение масс. Например, Солнечная система со всеми планетами, спутниками планет, кометами, астероидами и межпланетным газом. А можно в качестве объекта рассматривать, например, систему Земля-Луна. Или облако межзвездного газа. Или жидкость, текущую в трубе. Или даже часть жидкости.
Для того, чтобы начать описывать вращения, сначала рассмотрим произвольное твердое тело. Напомним данное ранее определение твердого тела – это такой объект «с очень сильными внутренними связями», что внешние силы, приводящие его в движение, не могут его деформировать. Такой объект всегда сохраняет свою форму.
Если мы описываем движение такого тела «без учета движения центра масс», то нам остается описать его вращения.
Что такое вращение? Чем оно характеризуется?
На рисунке показано тело, поворачивающееся на определенный угол ∆θ вокруг произвольной оси. Выберем систему координат таким образом, чтобы этой произвольной осью была ось Z, как на рисунке. Легко заметить, что вращение характеризуется величиной угла поворота. Мы можем ввести понятия угловой скорости и углового ускорения:
Заметим, что формулы аналогичны формулам для поступательного движения
К тому же мы помним из предыдущего изложения (а если не помним, то это легко увидеть из рисунка), что
Что же будет играть роль силы во вращательном движении?
Эта штука называется «Момент силы». Или просто «Момент». Это и есть «крутящая сила»! Заранее отметим, что эта штука векторная – существует «вектор момента силы». Как определить ее количественно?
Мы определим ее через работу. Мы с вами помним, что вообще то работа - это такая универсальная физическая величина, которая показывает изменение энергии. А еще если мы знаем какая требуется работа для данного перемещения, то мы знаем и силу.
На рисунке ниже наше тело вращается относительно оси Z.
Для маленького угла поворота ∆θ из точки P в точку Q
Делим обе половины обеих уравнений на Δt
Собственно, тут мы узнаем формулу
Эта странная комбинация Fy * x - Fx * y и есть «Момент силы». Таким образом, работа при вращении определяется как момент, умноженный на угол поворота. В таком случае момент силы у нас определяется через силы.
Для множества сил общий момент – τ
Но что такое x * Fy - y * Fx ? Вспомните, что есть векторное произведение r ×F для векторов, лежащих в плоскости XY !
Если правильно выбрать систему координат, как на рисунке ниже, то можно легко увидеть, что это выражение есть тангенциальная составляющая силы, умноженная на радиус вектор.
Если присмотреться к предыдущему рисунку, то можно также показать, что «Момент» = «Плечо»× «Сила» (векторное произведение векторов). Докажите это самостоятельно!
Для «нетвердого» тела — это тоже справедливо. Более того, это справедливо для любой системы тел, а также для множества частиц (например, для облака межзвездного газа или для целой галактики).
Мы помним, что внешняя сила равна скорости изменения вектора Р – полного импульса системы.
Так вот. Момент силы равен скорости изменения вектора L – «момента количества движения системы» (или «углового момента»).
Для произвольной частицы
Но легко доказать простым вычислением, или нахождением первообразной с помощью онлайн системы в интернете, что это выражение есть производная от
Где вектор L - это и есть «момент количества движения» или, другими словами, «угловой момент».
Интересно, что для вектора L равенство
справедливо при любых скоростях (и для релятивистских, околосветовых скоростей тоже).
Повторимся. Мы показали, что у импульса и силы (из раздела поступательного движения) существуют «вращательные аналоги».
У импульса – угловой момент.
У силы – момент силы.
Ну а теперь пора открыть Закон Кеплера!
Рассмотрим движение планеты вокруг Солнца. Так как в этом случае центр вращения (обращения) находится практически в «центре» Солнца, то тангенциальная составляющая силы «практически» равна 0. Сила притяжения Солнца направлена строго по радиус вектору планеты.
Соответственно, момент силы равен 0. Тогда момент количества движения должен оставаться постоянным.
А так как масса у планеты постоянна, то
А что означает последнее равенство? То, что «площади, заметаемые планетой за равные промежутки времени одинаковы». Это, как известно, и есть закон Кеплера, который является всего лишь следствием закона сохранения момента количества движения. Или, по-другому, закона сохранения момента импульса.
И в заключение параграфа рассмотрим этот закон в случае множества частиц.
Пусть вектор τ - полный момент сил. А вектор L - полный момент количества движения.
Теорема: Скорость изменения момента количества движения относительно любой оси равна моменту внешних сил относительно этой же оси.
Эта теорема справедлива для любого количества частиц вне зависимости от того, образуют ли они твердое тело или нет.
Частный случай этой теоремы – наш Закон сохранения момента количества движения. «Если на систему частиц не действуют никакие внешние моменты сил, то ее момент количества движения остается постоянным.»
Для твердого тела, вращающегося вокруг оси, можно записать
Суммируем по i. Тогда полный момент количества движения равен
I – это «момент инерции» - своеобразный аналог массы для вращения.
Комментариев нет:
Отправить комментарий