4. Скорость

Если взять длину отрезка пути, пройденного телом, измеренного в метрах, (в нашем случае, для простоты, "материальной точкой". То есть телом, размерами которого можно пренебречь в данной конкретной задаче) и разделить на время, затраченное на прохождение этого отрезка пути в секундах, то полученная величина будет являться "средней скоростью" тела на данном отрезке пути. Почему средней, надеюсь, понятно?        Если нет, объясняю: Реальное физическое тело движется неравномерно. Равномерное движение - это идеальная физическая модель реального механического движения, которая с некоторой точностью может удовлетворять нас при описании движения реальных тел. На самом деле реальное физическое тело в реальном физическом мире никогда не движется равномерно. Оно то ускоряется, то совсем может остановиться. Причем, оно не может остановиться или разогнаться мгновенно. Догадайтесь почему!           Соответственно, если мы рассмотрим отрезок пути произвольно движущегося тела и отсечем время, за которое это тело преодолеет данный участок пути, а потом разделим на это время длину отрезка пути, то получим некую величину с размерностью скорости. Метры в секунду.             Черточка над v означает, что это средняя скорость.         Если мы рассмотрим две половины данного отрезка и, соответственно два времени прохождения этих отрезков телом, то мы получим две скорости (средние скорости на каждом отрезке), которые в реальном движении не будут равны между собой и не будут равны средней скорости на целом отрезке. При этом, заметим, что сумма двух половин отрезка пути равна длине всего отрезка, а сумма времен равна времени прохождения всего отрезка.             Мы можем поделить наш первоначальный отрезок пути на множество маленьких отрезков и измерить времена прохождения каждого отрезка. Разделив длину каждого отрезка на время прохождение его нашим телом мы получим величины средних скоростей на каждом маленьком отрезке .             Сравнив их, мы сможем сделать выводы на каком участке тело двигалось быстрее, а на каком медленнее. Теперь представим себе, что мы разделили наш целый отрезок пути на бесконечно маленькие отрезки и измерили время прохождения каждого бесконечно маленького отрезка, а, затем, разделили путь на время на каждом бесконечно малом отрезке.                            Что мы получим в результате?             В результате мы получим конечные величины vi  (не бесконечно малые и не бесконечно большие !!!), которые можно назвать "мгновенной скоростью". Или «скоростью в точке». Бесконечно малый отрезок  считаем точкой.             Разберемся в этом подробнее.             Представить себе деление бесконечно малого расстояния на бесконечно малое время (Подумайте сами, почему время тоже бесконечно малое!) не очень то легко.             Бесконечно малое расстояние - это «почти точка». Определим бесконечно малое расстояние - это такое расстояние между двумя точками (Расстояние бывает только между двумя точками!), которое всегда меньше, чем любое сколь угодно малое конечное расстояние.             Это очень просто представить, как процесс, изображенный на рисунке 3. Возьмем какой-либо маленький отрезок (отрезок пути в смысле рассматриваемой нами задачи) и разделим его на время прохождения нашим телом этого отрезка. Получим среднюю скорость тела на этом отрезке. Это мы уже знаем.             Дальше делим этот участок пополам. Берем в рассмотрение первую половину отрезка (первую от начала отрезка к концу по времени прохождения) и время прохождения нашим телом этой первой половины. Делим одно на другое - получаем среднюю скорость на первой половине отрезка. Затем делим пополам эту первую половину и берем в рассмотрение первую половину половины (первую четверть первоначального отрезка) и время ее прохождения телом. Делим одно на другое - получаем среднюю скорость на первой четверти отрезка.             А дальше продолжим этот процесс много-много раз. Одна восьмая, одна шестнадцатая, одна тридцать вторая, одна шестьдесят четвертая, и т.д. Нужно отметить, что мы очень быстро будем брать в рассмотрение настолько маленькие отрезки, что средняя скорость на этих все меньших и меньших отрезках с какого-то момента перестанет в наших измерениях меняться.    !!!        В реальном эксперименте мы можем остановить наш процесс по нескольким причинам.       Первая причина - отрезок получается настолько маленький, что мы не можем существующими инструментальными методами измерить время прохождения его нашим телом.            Вторая причина - наше тело уже стало слишком большим по отношению к этому отрезку, и просто не имеет никакого физического смысла продолжать наш процесс. (Например, зачем измерять движение человека по дороге с точность до микрометра? … Но, возможно, в будущем вы найдете необходимость этого и продолжите процесс дальше.)           Третья причина - в любой реальной физической задаче существует ограничение точности измерений. Измерения не бывают бесконечно точными! Обычно это выражается "количеством знаков после запятой". Сами посмотрите про это в интернете! Может оказаться, что после какого-то очередного деления отрезка и измерения средняя скорость тела в каждом последующем измерении (на каждом последующем отрезке, в качестве которого мы берем первую половину предыдущего отрезка) после каждого очередного деления перестанет изменяться с точностью до нужного количества знаков после запятой.             В этом случае мы можем договориться (сами с собой), что наш процесс можно остановить, а полученную величину считать мгновенной скоростью в точке начала нашего первого отрезка пути. !!!    При этом мы производим допущение, что дальнейший (бесконечный) процесс деления отрезков и измерения средних скоростей на их первых половинках (половинках, примыкающих к началу первого отрезка пути) не приведет к изменению значения средних скоростей с требуемой нами точностью.             По сути, мы заменили бесконечный процесс конечным алгоритмом действий.             Таким образом, мы договариваемся считать результат этого вышеописанного конечного процесса равным результату деления бесконечно малого отрезка пути на бесконечно малое время прохождения этого отрезка телом.             В строгом математическом виде пишется:             Читается: «предел функции   при   стремящемся к нулю».             Эту величину мы пока условимся называть «мгновенной скоростью тела в точке».             Но процесс вычисления мгновенной скорости можно себе представить и по-другому. Мы делили на отрезки путь. А можно  делить отрезок времени. И это будет правильно с точки зрения физики. Делить, все ближе и ближе приближаясь к моменту времени, для которого мы хотим определить мгновенную скорость.             Математически это описывается так. Берем маленький отрезок времени . Разделив величину пути , который прошло наше тело за этот отрезок времени, на величину этого отрезка времени, получим среднюю скорость на этом отрезке (и пути, и времени! – понятия средней скорости на отрезке пути и средней скорости за отрезок времени в данном случае одинаковы).             А теперь устремляем наш отрезок времени к нулю. Т.е. делаем его все меньше и меньше (главное, чтобы наша точка, в которой вычисляем мгновенную скорость всегда была в пределах этого отрезка, например, в начале). Еще меньше. И еще меньше!             Насколько меньше? Очень, очень, очень маленьким! Бесконечно малым.             Это очень просто определить чисто математически: «Бесконечно малая величина – это величина меньшая, чем любая, сколь угодно малая конечная величина». Что это означает? Очень просто. Берем любой самый маленький конечный отрезок времени. Его можно записать в виде числа секунд, например. Одна миллисекунда – это одна тысячная секунды. Наш бесконечно малый отрезок строго меньше одной миллисекунды. И одной миллиардной секунды (микросекунды). И одной наносекунды! И вообще, если даже мы напишем на большой стене число с миллионами нулей после запятой, то и тогда наша бесконечно малая величина будет строго меньше!             Обозначается бесконечно маленький отрезок времени dt (маленькая латинская буква d вместо ∆,которая обычно означает конечность отрезка). Догадайтесь самостоятельно, почему отрезок пути, пройденный телом за бесконечно малый отрезок времени, тоже бесконечно малый! Операция деления бесконечно малого отрезка пути на бесконечно малый отрезок времени записывается             Если у нас есть функция зависимости координаты от времени X(t), то проделав для каждого значения t операцию нахождения мгновенной скорости, мы получим функцию V(t) – функцию зависимости мгновенной скорости тела от времени. Математически мы запишем формулу                   Эта функция  называется первой производной от функции X(t) по времени. Ее можно обозначать кратко точкой (или штрихом)  = . Договоримся в нашей книге обозначать производную по времени точкой, а производные по другим величинам, кроме времени штрихом!             Возникает вопрос, а зачем мы все это записали, если мы все равно не сможем повторить операцию нахождения мгновенной скорости для каждой точки – их же бесконечное количество?             Да, операцию повторить не сможем. Но вот, что замечательно! Если мы знаем математическую функцию зависимости координаты X(t) от времени t, то существуют простые математические методы аналитического вычисления функции V(t). Аналитического – это значит без цифровых вычислений. Просто с помощью буквенных записей формул по определенным простым известным правилам. Например, пусть мы знаем зависимость координаты от времени Тогда мы можем тут же вычислить зависимости скорости Это круто! Потому, что если нам известна функция зависимости координаты от времени, находя производную этой функции по времени, мы сразу же узнаем мгновенную скорость в каждый момент времени.             Но это еще на все. Если продолжить и продифференцировать (Дифференцирование - так называется операция нахождения производной функции) функцию зависимости скорости от времени по времени – т.е. найти функцию , то мы получим строгую зависимость скорости изменения скорости тела в каждый момент времени. А это есть ускорение a(t). Она будет первой производной от функции скорости по времени, или второй производной от функции координаты по времени. Слова «по времени» означают всего лишь, что мы дифференцируем функцию по переменной время t. То есть делим на бесконечно малые отрезки времени. Для нашего примера       Подробнее на операции дифференцирования мы остановимся позже. Пока лишь добавим, что функция X(t) по отношению к функции V(t) называется «первообразной функции V(t)». Обратная операция (нахождение функции, которая после дифференцирования становится производной) называется нахождение первообразной или интегрирование.             Чем замечательна «производная», мы показали. А чем замечательна «первообразная»?             Первообразная функции позволяет найти саму функцию с точностью до некоторой постоянной величины. Таким образом, зная вид производной функции, мы знаем вид самой функции, но с некоторой неопределенностью на постоянную величину.             Не углубляясь в подробности, покажем, как это можно использовать в случае, если нам известна функция скорости V(t). Мы можем найти функцию координаты X(t) = Первообразная (V(t)) + const.  (где const – обозначение в формулах некоторой постоянной величины) Обычно операцию интегрирования функции записывают с помощью знака интеграла. Он похож на английскую букву S от слова «СУММА». Таким образом, функция скорости V(t) есть производная функции координаты X(t) по времени и одновременно первообразной функции ускорения a(t) по времени.  Функция ускорения a(t) есть производная функции скорости V(t) по времени. И одновременно второй производной функции координаты X(t) по времени. И т.д.             Надеюсь, теперь у вас сформировалось начальное понимание, что такое «скорость» и «ускорение» в точном физическом смысле. В смысле, удобном для решения задач на движение тел.             Собственно, это все, что нужно знать про механическое движение для успешного решения задач школьной (и любой другой) Механики!             И в заключение. Самое важное в данном параграфе, следующее: Рассмотрим функцию зависимости координаты тела (материальной точки) от времениX(t).  Зная ее, мы знаем положение тела в каждый момент времени t. Оказывается, существует простой способ получения из этой функции X(t) другой функцииV(t), которая является функцией зависимости мгновенной скорости тела от времени. Операция получения функции скорости из функции координаты называется "Дифференцирование". А функция, полученная путем такой операции, называется "Производная" первоначальной функции. Таким образом говорят, что скорость есть первая производная пути. Вторая производная от пути есть ускорение a(t) = (t) = (t). Которое есть, к тому же, первая производная от функции скорости.             Подробнее это будет рассмотрено ниже. !!!          Главное, что следует понять из этого параграфа - это физическое понятие мгновенной скорости (то, что мы определяем, как "скорость в точке") и то, что есть простая математическая операция вычисления функций зависимости мгновенной скорости от времени и зависимости ускорения от времени, если известна зависимость координаты от времени и наоборот. !!!        И еще одно важное замечание. До сих пор шла речь о скорости механического движения. Но все наши рассуждения полностью справедливы для скорости изменения любой другой физической величины. Если известна функция зависимости одной физической величины от другой физической величины, называемой «переменной» (от любой другой, а не только от времени), то производная функции по этой переменной есть функция скорости изменения физической величины в зависимости от изменения нашей переменной. Забегая вперед приведем пример: Представим, что для каждой точки пространства определена температура вещества в этой точке. И нам известна функция распределения температуры в зависимости от изменения координаты точки. Тогда мы можем вычислить функцию зависимости скорости изменения температуры при пространственном сдвиге по координате (так называемого «пространственного градиента температуры»). Она есть производная нашей функции зависимости температуры от координаты по этой координате.