Фундаментальный закон природы, установленный эмпирически (т.е. в опытах) и заключающийся в том, что для изолированной физической системы может быть введена скалярная физическая величина, являющаяся функцией параметров системы и называемая энергией, которая сохраняется неизменной с течением времени.
Выше мы уже писали: все, что мы знаем про энергию, это что есть такая скалярная величина, которая в замкнутой системе остается всегда постоянной.
На самом деле это очень круто! Благодаря энергии мы можем сравнивать и изучать взаимодействие различных явлений - механических, электромагнитных, тепловых и пр.
Так как этот закон относится не к конкретным физическим величинам (скорость, температура, импульс, и т.п.), а показывает общую закономерность всех явлений в природе (везде и всегда безо всякий исключений!), то иногда его называют принципом сохранения энергии, выделяя таким образом среди всех физических законов сохранения.
В ньютоновской механике формулируется частный случай общего принципа сохранения энергии — Закон сохранения механической энергии: «Полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остаётся постоянной.»
В школьной программе по физике силы разделяют на консервативные и неконсервативные(диссипативные) силы. Консервативные силы (потенциальные силы) — это силы, работа которых не зависит от вида траектории.
Примерами консервативных сил являются: сила тяжести, сила упругости, сила кулоновского (электростатического) взаимодействия.
Примером неконсервативной силы является сила трения.
Сохранение энергии означает, что при отсутствии в замкнутой механической системе диссипативных сил (например, сил трения) механическая энергия не может возникнуть из ничего и не может исчезнуть в никуда.
На рисунке приведен пример замкнутой механической системы – груз массой m совершает колебания под действием силы упругости пружины жесткостью k. Трением в системе пренебрегаем, т.е. считаем силы трения равными 0.
В крайних положениях с максимальным отклонением X потенциальная энергия максимальна, кинетическая в системе координат с началом в точке равновесия, например, равна 0 (подходит любая инерциальная система координат, покоящаяся относительно точки равновесия данного маятника).
В момент прохождения грузом точки равновесия наоборот. Кинетическая энергия максимальна, а потенциальная энергия равна 0.
Запишем это в виде уравнений (помним, что у нас одномерный случай):
В одномерном случае вместо векторов можно рассматривать просто значения одной компоненты (по оси X в данном случае). Мы помним из задачи про круговое движение, что составляющая ускорения по оси X при равномерном круговом движении с центром окружности в начале координат равна:
Можно сказать, что координата x совершает гармонические колебания с циклической частотой ![]()
. Выше мы эту величину назвали угловой скоростью, измеряемой в радианах в секунду. И она была связана с периодом обращения точки по окружности:
Этот период равен периоду колебания координаты x (и, кстати, равен также периоду колебания координаты y) при движении по окружности с постоянной угловой скоростью. Поэтому в случае описания гармонических колебаний величина ω - называется циклической частотой. В случае с колебаниями нашего грузика на пружине:
Эта формула называется формулой Гюйгенса.
Мы помним (а если еще не помним, то запоминаем!), что потенциальная энергия упруго деформированного тела равна
Почему? А вот почему. Потенциальная энергия – это величина, изменение которой характеризует работу, произведенную силой, которая является причиной этой потенциальной энергии. Они обе, и энергия и работа измеряются в одних и тех же единицах – Джоулях. Тогда, при малом смещении Δx
Причем Δx – это такое маленькое смещение под действием силы Fупр, что мы можем считать эту силу постоянной в пределах величины этого смещения. Тогда ∆A(x) – это работа произведенная нашей силой упругости на отрезке Δx.
Заметили, что x и Δx в нашем случае разных знаков? Догадайтесь почему!
И не забывайте, что мы взяли отрезок Δx настолько маленьким, что силу Fупр(x) можно считать на нем постоянной. Это вообще то правильно только если смещение Δx бесконечно малое - dx. Обозначим dA(x) величину работы на бесконечно малом отрезке dx.
Выберем начало координат в точке равновесия. Там x = 0
Тогда работа при бесконечно малом смещении от точки x буде равна
Теперь суммируем все «кусочки работ» dA на отрезках dx от X до 0. Так как они (отрезки dx) бесконечно маленькие, то такое суммирование бесконечного числа бесконечно малых отрезков на которые поделен конечный отрезок есть, как мы помним, операция интегрирования.
Понятно, почему у интеграла внизу стоит X, а вверху 0?
Потому что мы суммируем от координаты X к координате 0! Мы в самом начале оговорили, что рассматриваем работу, которую совершает сила упругости. Соответственно, у нас движение идет по направлению силы упругости. Логично, что потенциальная энергия в процессе совершении такой работы уменьшается. Так как сокращается расстояние до точки равновесия с одной стороны, и уменьшается сила с другой. Сильно растянутая (или сжатая пружина) прилагает к грузику большую силу, чем слабо растянутая. Значит, когда мы растягиваем (или сжимаем) пружину против ее усилий, мы увеличиваем ее потенциальную способность совершить работу. А когда он сжимается или растягивается под влиянием своей собственной силы упругости, тогда ее потенциальную способность совершать работу уменьшается.
Проинтегрировав, мы найдем полную работу, которую совершит пружина, пройдя расстояние от максимального отклонения от точки равновесия X до точки равновесия, где по нашему определению потенциальная энергия пружины равна нулю. Эта работа равна разнице значений первообразных функции (-k*x) (первообразную можно посмотреть в таблице или найти в интернете)в точке 0 (верхняя граница интегрирования) и X (нижняя граница интегрирования:
Итак, потенциальную энергию пружины в любой произвольно выбранной точке X мы нашли. А что же с кинетической энергией?
Найдем для начала кинетическую энергию в точке равновесия пружины с координатой x = 0. По Закону сохранения энергии кинетическая энергия в точке равновесия пружины равна потенциальной энергии в точке максимального отклонения пружины от точки равновесия. Снова посмотрим на на рисунок!
Следовательно, полная энергия пружины с грузиком в произвольной точке с координатой отклонения x равна:
Так как у нас в формуле стоят квадраты, то на знаки координаты и скорости можно не обращать внимания. Хотя неплохо бы представлять себе, когда и каких они знаков. Заметим, также, что эта формула позволяет нам находить скорость грузика на пружине в любой точке, если заданы жесткость пружины, масса грузика и полная энергия системы (или максимальное отклонение).
Ну а теперь не откажем себе в удовольствии еще раз вывести формулу для ускорения грузика на пружине в произвольной точке x.
Продифференцируем уравнение полной энергии системы по времени t. Это можно сделать, так как у нас координата x = x(t) зависит от времени t. Помним, что Eполн = const:
Так как скорость v(t) не всегда равна нулю, то нулю равно выражение в скобках. Из чего мы получаем туже самую формулу, только полученную непосредственно из закона сохранения энергии:
Чтобы закрепить понятие сохранения энергии в замкнутой механической системе, рассмотрим еще одну классическую задачу. Задачу про движение тел под действием силы тяжести.
Когда какое-либо маленькое и тяжелое (но не сверхтяжелое!) тело падает вблизи поверхности Земли, можно с достаточной точностью считать, что на тело действует постоянная по величине сила тяжести, сообщающая телу ускорение g, приблизительно равное 9,8 м/с2.
Почему маленькое и тяжелое? Чтобы можно было пренебречь сопротивлением воздуха. А почему не сверхтяжелое?
Правильно! Чтобы можно было пренебречь влиянием самого тела на Землю. Потому, что вообще то тело тоже притягивает Землю. И хотя значение ускорения, которое испытывает тело, не изменяется в зависимости от его массы. Да, да! Солнце тоже испытывало бы ускорение g. если бы центр массы Солнца находился бы на уровне поверхности Земли. Закон тяготения никто не отменял!
То есть ускорение, придаваемое Землей телу, которое притягивает Земля, не зависит от массы этого тела, а зависит только от массы земли и расстояния от центра тяжести (центра масс) Земли до центра масс притягиваемого тела.
Теперь пора рассмотреть задачу о падающем камне. Например, такую:
1) «Если тело свободно отпустить с высоты 40 м, его скорость в момент падения на Землю составит... Ответ: ___ м/с.»
Или такую:
2) «Тело подбрасывают вверх со скоростью 10 м/с с высоты 50 метров над поверхностью Земли. Какая скорость будет у тела на высоте 30 метров над поверхностью Земли?»
Начнем с первой. Все подобные задачи решаются, исходя из знания Закона сохранения энергии. Первое, мы понимаем, что система «тело-Земля» замкнутая. Второе, в этой системе существует только сила притяжения и никаких других сил, типа диссипативной (неконсервативной) силы трения тела о воздух. И еще оно относительно Земли легкое, настолько, что не ускоряет саму Землю. Правильнее сказать, ускоряет, но пренебрежимо мало. И еще, что наше тело относительно Земли очень маленькое, так, что его линейными размерами в данной задаче можно пренебречь.
Таким образом, у нас получилась задача о движении тела в поле постоянной силы притяжения в любой точке(Fтяж = const).
Соответственно, полная энергия в момент отпускания равна:
Проверим по формулам равноускоренного движения:
Правильно!
Заметьте, можно решать и так, и так. Но, с помощью закона сохранения энергии обычно решение получается проще и короче. Покажем это на примере решения второй задачи. Повторим условия: ««Тело подбрасывают вверх со скоростью 10 м/с с высоты 50 метров над поверхностью Земли. Какая скорость будет у тела на высоте 30 метров над поверхностью Земли?».
Здесь тело сначала двигалось вверх, а затем падало вниз. Соответственно, чтобы решить задачу через уравнения равноускоренного движения, нам нужно сначала найти высоту верхней точки, а для этого нужно определить время подъема. Время подъема – это время до того момента, когда скорость тела будет равна нулю. Затем вычислить высоту подъема. И уже затем решать в точность как первую задачу – в два действия.
Если решать через закон сохранения энергии, то сначала находим полную энергию на высоте старта, а затем, уже зная полную энергию на высоте 30 метров вычисляем скорость из уравнения с одним переменным:
В конце концов, каждый решает сам, каким способом ему проще решать конкретную задачу. Стоит только иметь ввиду, что есть целая группа задач, самым простым решением которых есть решение через закон сохранения энергии.
Заметим еще, что как бы мы ни кидали тело, в любом случае на одинаковой высоте в отсутствии диссипативных сил в системе (например, силы трения) скорость тела по модулю будет одинаковой на подъеме и на спуске. Догадайтесь сами, почему!
Потому, что скорость у нас в этой задаче зависит только от высоты
!!! Мы рассмотрели примеры применения закона сохранения энергии в механике. Но закон справедлив для всех остальных видов энергии (тепловой, электрической и пр.). Вообще всегда! Это очень удобно для описания сложных физических явлений, в которых один вид энергии переходит в другой. Например, при описании паровых машин или двигателей внутреннего сгорания.
Комментариев нет:
Отправить комментарий