14.2. Закон сохранения импульса

На первый взгляд очень простой закон. И все его знают. Если два тела взаимодействуют друг с другом (и никаких воздействий ни откуда извне не испытывают), образуя между собой замкнутую систему, то величина, называемая общим импульсом системы, постоянна. Например, импульс системы двух тел В школьной программе обычно рассматриваются два шарика с абсолютно упругим соударением. Похоже на поведение биллиардных шаров при соударениях. Можно догадаться, что и при серии столкновений множества шаров друг с другом вектор Pсистемы сохраняется. На биллиарде это не так. В том смысле, что там существует сила трения качения шаров о сукно. Да и столкновения шаров не абсолютно упругие. Кстати, что такое абсолютно упругое столкновение двух тел? Это столкновение, в котором нет потери импульса системы. Так, что тут у нас масло масляное. Можно объяснить более пространно. В момент абсолютно упругого столкновения двух тел не происходит перераспределения механической энергии движения этих тел в другие виды энергии, например, в деформацию тел или в их нагрев. В реальном мире таких столкновений нет. Во всяком случае в классической механике, не существует. Но это можно использовать в некоторых задачах в качестве приблизительного описания реального столкновения. Так, что мы при использовании этого закона, всегда должны определять, подходит нам для описания нашего явления модель абсолютно упругого столкновения в случае, если у нас задача «про биллиардные шары», назовем ее так условно. Но самое интересное, что закон сохранения импульса применим не только к задачам про столкновения чего-то с чем-то, а вообще во всех задачах на движение. И не только механических. Но об этом позже. Откуда берется закон сохранения импульса? Его очень сложно заметить из явлений обыденной жизни. Потому, что в реальных явлениях всегда присутствуют диссипативные силы, которые что-то тормозят, нагревают и вообще всячески запутывают реальную ситуацию. Оказывается, закон сохранения импульса вытекает из Второго закона Ньютона! Ньютон, как известно, сформулировал три свои замечательных закона, которые ознаменовали начало «золотой эпохи» классической механики. До него все подозревали, что только если приложить к предмету усилие, он изменит свое поведение, например, начнет двигаться быстрее или наоборот замедлится и остановится. А Ньютон сформулировал следующее: 1)     Первый закон Ньютона – (это, по сути, повторение принципа инерции Галилея) Тело, предоставленное само себе, если на него не действует никакая сила, сохраняет свое прямолинейное равномерное движение, если оно до этого так двигалось или остается в покое, если оно покоилось. Или в формулировке самого Ньютона «Всякое тело продолжает удерживаться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние.» 2)     Второй закон Ньютона описывает изменение скорости тела, если на него действует сила. В инерциальной системе отсчёта ускорение, которое получает материальная точка с постоянной массой, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил и обратно пропорционально её массе. Где  a – вектор ускорения, F – вектор равнодействующей всех сил, приложенных к телу массойm.  3)     Третий закон Ньютона в его формулировке звучит: «Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе — взаимодействия двух тел друг на друга между собою равны и направлены в противоположные стороны». Из этих Законов можно вывести закон сохранения импульса. Запишем Второй закон в дифференциальной форме: Согласно третьему Закону, для двух взаимодействующих друг с другом тел: Легко показать, что аналогичное утверждение справедливо и для множества взаимодействующих тел. Докажите самостоятельно! Для нас важно понять следующее: 1)     Закон сохранения импульса следует непосредственно из формулировки Законов Ньютона. 2)     Закон сохранения импульса точен только в приближении классической (нерелятивистской) механики (То есть, когда скорости тел в системе гораздо меньше скорости света. При очень больших скоростях изменяется масса, величина которой зависит от скорости относительного движения). Но не будем пока слишком углубляться в подробности. Отметим лишь, что для квантовой механики существует свой аналог закона сохранения импульсов. 3)     Очень важно понять, что этот закон в классической механике выполняется не только для столкновений, но и для любого воздействия тел друг на друга. Например, суммарный импульс Солнечной системы не изменяется. Подумайте над тем, правда это или нет! В качестве примера рассмотрим несколько упрощенный вариант классической «задачи двух тел» из астрономии. Две планеты (или звезды) двигаются под действием сил взаимного притяжения, как показано на рисунке. Вектор скорости одной планеты в нашей системе координат равна V, скорость другой равна -V и вектора перпендикулярны в определенный момент времени (будем называть его начальным) прямой на которой находятся центры масс наших планет. Так как распределение масс наших планет центральносимметрично, томы можем заменить их в нашей задаче материальными точками с массами m, расположенными в центрах масс. Расстояние между этими центрами равно сумме модулей векторов r1 и r2. В целом видно, что наша задача явно имеет центральную симметрию, относительно общего центра масс наших тел. Силы, действующие на планеты c массами m1 = m2, равны соответственно F1 и F2. Согласно третьему закону Ньютона: Где r1,2 – вектор расстояния от m1 до m2.              Согласно второму закону Ньютона:             Получаем систему из двух векторных дифференциальных уравнений:             Эта система векторных дифференциальных уравнений описывает поведение двух одинаковых взаимно притягивающих друг друга тел (материальных точек). Она решается аналитически, достаточно просто, хотя и несколько громоздко. Задаче двух тел посвящены целые книжки именитых профессоров. Любой прилежный студент физического факультета университета умеет решать подобные уравнения уже на втором курсе. Мы не будем решать в лоб эти уравнения, которые (Заметьте!), мы составили исходя лишь из знания Законов Ньютона. Наша задача провести качественный анализ данных уравнений и посмотреть, как можно правильно представлять движение системы, описываемой уравнениями движения, не решая эти уравнения непосредственно.             Первое, что мы можем заметить, это то, что уравнения содержат вектора. Соответственно, если мы распишем их  покомпонентно («покоординатно»), то у нас получится система из шести независимых уравнений (например, в прямоугольной системе координат) Мы этого здесь делать не будем, но возможно кто-то захочет попробовать это сделать.             Второе, мы заскочили несколько вперед, поскольку мы еще нигде не касались вопроса взятия производных или интегрирования векторов. Подробнее это будет рассмотрено в следующем томе, но кратко отметим, что производная от векторной функции это три производных от каждой из функций–компонентов вектора в соответствующей системе координат.             Пусть у нас есть вектор r1, тогда вторая произодная:                 А первая производная соответственно:             Таким образом, наша система уравнений просто распадается на систему из шести дифференциальных уравнений, полностью описывающих движение нашей системы двух тел. Пока этого знания нам вполне достаточно для понимания сути.             Сложим между собой векторные уравнения. Получим запись Третьего закона Ньютона: Силы равны по величине и противоположны по направлению. Если мы последовательно два раза проинтегрируем по времени t это векторное уравнение, то получим:     Чтобы понять, почему такой результат, самостоятельно распишите уравнения покомпонентно и проинтегрируйте в соответствии с ранее изложенными правилами в данном томе!             Понятно, что Вектора A = (Ax,Ay,Az), B = (Bx,By,Bz) – это просто постоянные вектора, т.е. вектора с постоянными компонентами по осям X,Y,Z, в данном случае.             Вектор A = (Ax,Ay,Az) – это вектор суммарного импульса системы. Заметьте, мы получили его постоянство из уравнений движения, которые были составлены на основе знания нами Законов Ньютона!             Последнее уравнение – это уравнение, описывающее траекторию движения тел. Оно не такое простое в общем случае, так как r1 и r2 зависят от времени t. Проанализируем его подробнее.             Выберем удобную (инерциальную!) систему координат. Помним, что наши Законы действительны только в инерциальной системе координат. В такой системе координат, в которой на тела не действуют никакие другие силы (тела в рассматриваемой системе не испытывают никаких внешних возмущений (ускорений)). Понятно?             Выберем систему координат, как на рисунке. Система координат выбрана нами таким образом, что все скорости и силы в начальный момент времени лежат в плоскости X,Y. И еще выбранная нами система координат покоится относительно центра масс тел в начальный момент времени Заметим, что система отсчета, связанная с центром массы m1, неинерциальная. Почему? Подумайте самостоятельно до конца данного раздела, можем ли мы связывать начало отсчета с центром масс одного из тел? Уравнение суммарного импульса системы в нашем случае еще упрощается.             Помним, что это сумма импульсов  В скалярной записи это выглядит так: Интересный вывод – компоненты скоростей направлены в противоположные стороны и равны по модулю. Следовательно: Векторы скоростей наших тел противоположны по направлению и равны по модулю. Помним, что Z компоненты скоростей и координат равны нулю. Почему? На самом деле, почему? Это не так очевидно. Во всяком случае, подумайте дальше, почему, начав двигаться в плоскости X,Y, тела и дальше не выйдут из этой плоскости под воздействием друг на друга! Наши тела будут двигаться в плоскости X, Y как-то так: Проинтегрировав последнее равенство, получаем: Собственно, этого (центральной симметрии) и следовало ожидать. Кстати, догадайтесь, куда делась постоянная, которая получается при интегрировании! Теперь рассмотрим движение с точки зрения закона сохранения энергии. Работа при перемещении тела вдоль силы тяжести на величину ∆r Аналогично для второго тела. Мы помним, что эта работа есть изменение потенциальной энергии тела в поле нашей силы. Положительное изменение (увеличение) расстояния приводит к увеличению потенциальной энергии. Нулевой уровень потенциальной энергии выберем при |r| = бесконечность. Т.е. за нулевой уровень потенциальной энергии принимаем бесконечно большое расстояние между телами. Я надеюсь, вы понимаете, почему нельзя принять за нулевой уровень |r| = 0, когда тела «сливаются» в центре масс? Потому, что на ноль делить нельзя. А у нас в формуле для силы притяжения расстояние в знаменателе. Зато деление на бесконечность просто дает ноль. Особенностью такого выбора будет то, что потенциальная энергия будет всегда отрицательная. Ноль наибольшее значение! Тогда, если просуммировать все элементарные работы по перемещению тела "из бесконечности" до |r|= |r1| (элементарные, в данном случае, означает за маленькие перемещения), мы получим значение потенциальной энергии тела на расстоянии  |r1| от центра масс. Можно «просуммировать по бесконечно маленьким перемещениям», тогда будет совсем точно. Мы с вами уже знаем, что «суммирование по бесконечно малым отрезкам» это есть интегрирование. А интегрировать мы умеем. Например, с помощью http://www.wolframalpha.com/ Причем r отсчитываем от центра масс. Тогда для первого тела:        Проанализируем последнее уравнение. Но сначала проверим его на размерности с помощью нашей таблицы размерностей:        Правильная формула! Мы понимаем, что последнее уравнение – это уравнение полной энергии для одного тела в нашей системе. Упростим уравнение: Что мы видим, глядя на это уравнение? 1)     С увеличением расстояния между телами скорость (модуль скорости) падает (помним, что - это половина расстояния между центрами масс наших тел). Но падает как и до какой величины? Скорость не может упасть меньше, чем         Скорость тела "в бесконечности", называется «остаточной скоростью» или «гиперболическим избытком скорости». Причем ее легко вычислить. Она зависит от модуля скорости и расстояния от центра масс в какой-то момент времени. Это понятно, я надеюсь. 2)     Если |r1| постоянно. Т.е. оба тела вращаются по одной круговой орбите вокруг центра масс, находясь все время по разные стороны. Тогда скорости тоже постоянны по модулю и равны между собой Но у нас есть формула для центростремительного ускорения для кругового движения: Приравниваем две скорости на данном расстоянии от центра масс. Круговую и произвольную скорости. Получили формулу полной энергии первого тела в нашей задаче для случая кругового движения. Она равна половине от потенциальной энергии нашего тела на данном расстоянии |r1| от центра масс. Проверим. У нас есть еще кинетическая энергия. Она равна             Вот такая интересная система двух тел, летящих по одной круговой орбите под действием притяжения друг друга. Заметьте! В том, что целое (Еполн1) меньше «составляющей» (Екин1) нет ничего удивительного. Мы так выбрали нулевой уровень потенциальной энергии, что она по величине все время меньше или равна нулю. В бесконечности потенциальная энергия максимальна и равна нулю. В других случаях меньше нуля. Кинетическая энергия всегда больше или равна нулю. Найдите сами расстояние между нашими планетами, на котором полная энергия системы в нашем выборе системы координат и нулевого уровня потенциальной энергии равна нулю!             Самостоятельно рассчитайте период обращения у такой системы тел!             И еще одно замечание. Наши формулы очень напоминают формулы, описывающие движение материальной точки по круговой орбите вокруг притягивающего центра. Самостоятельно разберитесь, в чем разница!