11. Задача про движение материальной точки по окружности
Теперь воспользуемся полученными выше знаниями для решения красивой классической задачи про движение материальной точки по окружности.
Материальная точка двигается равномерно по окружности. В первом приближении похоже на движение Земли вокруг Солнца или Луны вокруг Земли.
Тогда мы можем записать уравнения движения в прямоугольной инерциальной системе координат XYZ. Причем, пусть движение происходит в плоскости XY, тогда координата Z(t) всегда равна 0:
Найдем функции скорости и ускорения для данной материальной точки.
Находим первые, а затем и вторые производные по времени. Первые производные по времени от функций координат будут являться функциями зависимости компонентов скоростей по соответствующим координатам материальной точки от времени.
С помощью таблиц производных тригонометрических функций (или с помощью онлайн системы вычисления производных в интернете) находим что производные синуса и косинуса равны
Из формул (23), (28), (29) получаем дифференцированием по t:
Соответственно, модуль вектора скорости V(t) равен корню квадратному из суммы квадратов компонент. Надеюсь, все помнят, как находить длину гипотенузы прямоугольного треугольника из длин катетов!
Скорость, действительно, постоянна по модулю!
А ускорение?
Дифференцируем функции скоростей по времени t, получаем функции компонентов ускорений по соответствующим осям координат:
Следовательно, модуль вектора ускорения аналогично предыдущему равен:
Из формул (45), (46) и (47) видно, что ускорение всегда направлено к центру. Догадайтесь почему? И оно, ускорение, тоже постоянно по модулю. А так как масса тела у нас постоянна, то значит, и сила притяжения к центру при таком движении так же должна быть постоянна по модулю.
На этом можно было бы остановиться. Мы вывели уравнения для скорости и ускорения, которые описывают равномерное движение материальной точки по окружности. К тому же определили, что скорость и ускорение по модулю являются постоянными. И зависят от радиуса окружности R, и некой постоянной 𝛚.
Но что такое эта самая постоянная 𝛚? Это угловая скорость.
Это скорость обращения в радианах?! Знаете, что такое радиан? Что такое радиан, можно посмотреть в интернете. Это угол, измеренный в радиусах, отложенных по окружности.
В 180 градусах умещается π радианов = 3,14…… радианов. Радиан – безразмерная величина, типа доли. Просто столько-то радианов. Если умножим на величину радиуса окружности в метрах, получим длину дуги нашей окружности (величиной в столько-то радианов) в метрах.
Размерность нашего 𝛚 – [1/с]. Правильно! В формуле (46) размерность у ускорения – [м/с2].
У чего еще есть размерность [1/с]? У частоты вращения γ – столько-то оборотов в секунду. Легко заметить, что если частота равна одному обороту в секунду γ = 1, то так как в полной окружности 2π радиан, следовательно
Подставляем в (49), получаем:
Мы продолжим рассмотрение кругового движения в последующих главах. Пока же ограничимся еще одной формулой. Вы, надеюсь, знаете, что период T обращения есть величина обратная частоте T = 1 / γ [в секундах]
Так? Тогда из (51) следует
Мы «убрали» зависимость от времени у модуля ускорения, поскольку оно по модулю не зависит от времени.
Заметим так же, что формулы (50) - (53) скалярные, а не векторные.
Предлагаю вам самостоятельно вывести формулу зависимости модуля ускорения a от модуля линейной скорости V и радиуса R.
Заметьте, мы вывели формулы аналитически. Просто из заданных уравнений движения (X(t),Y(t), Z(t)). Мы задали зависимость координат от времени и простым дифференцированием нашли зависимости от времени скоростей и ускорений. Точнее, установили их независимость от времени. Мы с вами аналитически вывели, что для равномерного движения по окружности телу (материальной точке) нужно придать ускорение, постоянное по величине и направленное к центру окружности, вдоль которой движется тело. Но самое главное, мы вывели уравнения зависимости периода обращения такого тела (материальной точки), ускорения и радиуса орбиты. И оказалось, что действительно период обращения космического корабля вокруг Земли, например, зависит только от радиуса орбиты и ускорения, придаваемого кораблю Землей.
Теперь решим красивую задачу.
Задача: «Нам нужно запустить на орбиту спутник-шпион, который будет следить за конкретным неподвижным объектом на поверхности Земли, например, за военной базой. Вопрос, каковы параметры орбиты такого спутника?»
Решение: Используем уравнение (53). Для того, чтобы спутник мог круглосуточно наблюдать на поверхности Земли за военной базой, он должен все время находиться в пределах видимости объекта. Если мы запустим спутник, период обращения которого вокруг Земли будет равен периоду обращения самой Земли вокруг своей оси, а орбита будет лежать в плоскости экватора, то такой спутник будет все время висеть над одной точкой. С Земли он будет казаться неподвижно висящим над экватором.
Какие параметры имеет такая орбита? Берем формулу (53). Смотрим, что у нас известно и неизвестно. Известен период обращения. Неизвестен радиус орбиты. А ускорение? Оно, как мы знаем, зависит от радиуса орбиты. На уровне поверхности Земли ускорение равно g ≅ 9,8 м/с2. Если радиус орбиты больше радиуса Земли в два раза, то ускорение меньше в 4 раза. Надеюсь, все помнят формулу закона всемирного тяготения.
У поверхности земли ускорение свободного падения
На орбите ускорение свободного падения
Тогда у нас получается
Подставляем в уравнение (50), получаем
Теперь выразим Rорбиты из формулы (56)
Проверяем размерности получившейся формулы
Правильная формула!
Теперь подставляем в нее известные численные значения. Период обращения – 24 часа = 24 * 60 * 60 сек. Радиус Земли приблизительно = 6 300 000 м. Ускорение у поверхности = 9,8 м/с2. Подставляем. Посчитайте сами и проверьте результат!
Получаем около 42 000 км. Таким образом спутник будет висеть над одной точкой экватора приблизительно на высоте около 36 000 км. над поверхностью Земли. Это правильный результат! Так называемые «геостационарные» (стационарные относительно поверхности Земли) спутники имеют такие параметры орбиты.
|
Комментариев нет:
Отправить комментарий