Нами создан сайт первого тома "Физики для ЗНАЕК!" по адресу https://sites.google.com/site/fizikaetoprosto2016/.
       На нем можно систематизировать свои знания. Задать интересующие вопросы.
Сделать замечания авторам за ошибки и возможные неточности.

       Мы будем стараться отвечать на все вопросы.

Задачи по механике ОГЭ 2016

17. Содержание второго тома

ДОМАШНЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ. ФИЗИКА. 2 ТОМ. 1.     Скалярные и векторные поля (Продолжение) 2.     Поле температуры 3.     Дифференцирование скалярного поля. Градиент. 4.     Векторное поле. Теплопроводность. Задачи на тепло. 5.     Уравнения Максвелла. Закон Кулона. 6.     Дифференциальное исчисление векторных полей. 7.     Интегральное исчисление векторных полей. 8.     Взаимоотношение правой и левой руки. 9.     Электростатика. 10.  Магнитостатика. 11.  Теория относительности Эйнштейна. 12.  Электромагнитные волны.

16. Скалярные и векторные поля

«Поле, русское поле…» - все помнят слова песни. Старшее поколение точно помнит. Что такое поле? Большое пространство, не обязательно очень плоское, на котором обычно растет что-то одинаковое. Например, пшеница. При слове «поле» сразу представляется холмистая равнина от горизонта до горизонта, покрытая колышущейся на ветру зеленой травой. Что у этого поля общего с физическим понятием поля? Очень много общего. Это область пространства каждая точка которой имеет некую однородную характеристику. Однородную – одного рода, в физике это значит одной размерности. Например, наше поле с травой в каждой своей точке имеет характеристику «высота травы». Или другой пример, давление воздуха определено в каждой точке объема комнаты. Но вы можете спросить, а как же быть в случае, если в конкретной точке поля (на конкретном квадратном сантиметре) нет ни одной травинки? Очень просто. Мы с вами можем сами определить, считать ли в этой точке поля высоту травы равной нулю. Или усреднить высоту соседних травинок, и принять ее за высоту травы в данной точке. То есть мы сами определяем, как вычисляется величина нашей однородной характеристики в нашем поле. Введем физическое понятие полей. Если каждой точке пространства задать в соответствие некоторую скалярную величину, то мы получим «скалярное поле». Например, «поле температуры».             Если каждой точке пространства задать в соответствие некоторую векторную величину, то мы получим «векторное поле». Например, «поле скоростей воздушных потоков в комнате».             Заметим, что и температура в каждой точке пространства комнаты и скорости воздушных потоков (и их направления) постоянно меняются. Они изменяются со временем. Но при этом в каждый отдельный момент времени (если «остановить мгновение») они являются какими-то совершенно определенными. В первом случае в каждой точке пространства есть определенная температура, а во втором случае в каждой точке пространства существует некая скорость частиц воздуха (есть величина и направление). И это есть поля.             Таким образом, мы имеем меняющиеся со временем скалярное поле температуры и векторное поле скоростей воздушных потоков.

15. Краткое содержание первого тома

Сформулируем в краткой векторной форме все, что мы узнали из первого тома.             Три Закона Ньютона: Вот собственно и все. Учитесь применять векторные формулы к задачам!

14.3. Закон сохранения момента импульса

Ну вот мы и добрались до последнего закона в первом томе. Закон сохранения момента импульса, с одной стороны, очень прост, с другой стороны достаточно важная для понимания физических явлений и большая тема. Настолько важная, что ей, возможно, стоило уделить целую отдельную главу. Но так как задач, в которых бы использовался данный закон сохранения совсем немного (почти нет), то мы выделим большой параграф. К тому же этот параграф позволит вам увязать воедино все, что изложено в предыдущих главах первого тома. Итак, «если на систему частиц не действуют никакие внешние моменты сил, то ее момент количества движения остается постоянным». Это очень просто понять и представить по аналогии с законом сохранения импульса. Если на тело (систему частиц) в инерциальной системе отсчета не действуют никакие внешние силы, то суммарный импульс системы остается постоянным. Закон сохранения импульса - он про поступательное движение. А закон сохранения момента импульса – он про вращение. Можно очень упрощенно сказать, что в инерциальной системе отсчета (а в частных случаях и в неинерциальной) если нет внешних сил, направленных на «раскручивание» тела (системы частиц), то скорость вращения остается постоянной. На этом можно остановиться. Все дальнейшее изложение можно считать факультативным. Для любителей физики! Итак, начнем с самого начала. Мы упомянули в формулировках двояко, и тело, и систему частиц. Ну конечно же, любое тело – это система частиц. Например, любое тело состоит из атомов, которые между собой как-то взаимодействуют. И еще тело может испытывать воздействия извне. То есть не только со стороны «своих частиц», а и от посторонних сил. Приведем пример. Возьмем футбольный мяч. У него есть оболочка, и есть воздух внутри, который своим избыточным давлением поддерживает шарообразную форму оболочки. Вы прекрасно можете себе представить, какие силы действуют между частицами мяча, если мы будем рассматривать мяч, как систему частиц. А еще есть притяжение Земли, которое ускоряет мяч вниз. А еще есть еще футболист, который может приложить к мячу силу, которая ускорит его, например, вверх. По отношению к мячу, как системе частиц, сила притяжения Земли и сила удара футболиста – это внешние силы. Понятно? Но когда мы с вами решали задачи про движение мяча, мы представляли мяч, как материальную точку. То есть мы считали, что где-то «в мяче» (внутри или на поверхности, или даже снаружи) есть такая точка, что движение всего мяча можно приблизительно свести к задаче движения этой точки, в которой как бы сосредоточена вся масса мяча. При этом заметим, мы с вами подразумевали, что эта точка расположена в геометрическом центре мяча (в центре центральной симметрии). Насколько это справедливо? И можем ли мы считать мяч неизменным объектом? И будут ли наши законы движения материальной точки применимы к мячу, в котором есть дырка и в котором нет избыточного давления? Или наши законы только для твердых тел? Отвечаем по порядку. Заметим сразу, что, по крылатому выражению Ричарда Фейнмана, все механические «явления не содержат в себе ничего большего, чем комбинации законов Ньютона». Начнем с рассмотрения твердых тел. Твердое тело – это такой объект «с очень сильными внутренними связями». Такими сильными, что внешние силы, приводящие его в движение, не могут его деформировать. В любой системе координат твердое тело может двигаться поступательно, а может вращаться. А может одновременно и двигаться поступательно, и вращаться. Получается довольно-таки сложная для описания система. Интуитивно понятно, что если бы мы могли разделить описание движения твердого тела на отдельно поступательное движение и отдельно вращательное, то наша задача очень бы упростилась. Но как это сделать? Движение какой точки нашего твердого тела можно считать поступательным движением всего тела и относительно чего рассматривать вращение? Фейнман дал определение так называемой «первой теоремы о сложных объектах»: «Существует какая-то «средняя» точка, вполне определенная математически, которая при любой комбинации внешних сил, действующих на тело, получает ускорение под действием результирующей всех этих сил как будто бы в этой «средней» точке сосредоточена вся масса тела». Представьте, что мы подкинули какой-либо предмет сложной формы в поле тяготения! Все его «точки» (частицы) будут двигаться довольно сложным образом (вращаться, колебаться и т.п.). Но у этого предмета есть «вполне определенная математически точка» которая будет двигаться под действием силы тяжести строго по параболе, как и положено двигаться материальной точке в поле тяготения. Мы можем предположить, что в случае с мячом правильной формы и симметричного распределения массы такой точкой будет его геометрический центр. Как вы, наверное, уже догадались, изложенная выше теорема – это так называемая «теорема о центре масс». Как у всякой теоремы, у нее есть свое доказательство. Мы его приведем, поскольку это поможет нам лучше разобраться в вопросе разделения движения тел (да и вообще любого «скопления частиц») на поступательное и вращательное. Рассмотрим наш «объект», как множество маленьких частиц (например, атомов). Их очень много. Пусть даже очень, очень много. Например, 1023 штук. Обозначим номер одной из частиц i. i принадлежит множеству {1,2,3,4,...,1023}. Сила F1, действующая на i-ю частицу: Так как масса у нас постоянна (движение нерелятивистское), то можно массу занести внутрь операции дифференцирования и записать: Мы получили, что у нас полная сила F, действующая на объект, равна второй производной от суммы произведений масс на положения (вектора положений!). Но полная сила, действующая на все частицы, это тоже самое, что и внешняя сила! Почему? Потому, что справедлив Третий закон Ньютона! Сила действия равна силе противодействия. Следовательно, какие бы силы не действовали между частицами внутри объекта, они попарно сокращаются друг с другом. Остаются только внешние силы. То есть внешняя сила, действующая на объект, равна сумме всех сил, действующих на все частицы объекта. Пусть M – сумма масс всех частиц объекта, т.е. полная масса объекта. Определим вектор R: Таким образом, мы с вами получили, что внешняя сила, действующая на объект, равна полной массе объекта, умноженной на ускорение некоторой точки, которая расположена где-то в «середине» объекта. «Середина» - это некий вектор R  в котором составляющие вектора ri учитываются пропорционально массам mi. Эта «средняя» точка называется «Центр масс». Центр масс интересен тем, что если на тело (объект) не действуют никакие внешние силы, то этот центр будет или покоиться, или двигаться прямолинейно и равномерно в инерциальной системе отсчета. Ничего не напоминает? И еще важно то, что этот центр масс (его движение) можно рассматривать отдельно от всех внутренних движений объекта. И, следовательно, его движение можно не учитывать при изучении вращения объекта. Благодаря наличию такой точки (центра масс) в объекте у нас с вами есть возможность отдельно описывать поступательное и вращательное движение любого объекта. Заметим, кстати, что объектом может являться не только твердое тело, но и вообще любое произвольное распределение масс. Например, Солнечная система со всеми планетами, спутниками планет, кометами, астероидами и межпланетным газом. А можно в качестве объекта рассматривать, например, систему Земля-Луна. Или облако межзвездного газа. Или жидкость, текущую в трубе. Или даже часть жидкости.    Для того, чтобы начать описывать вращения, сначала рассмотрим произвольное твердое тело. Напомним данное ранее определение твердого тела – это такой объект «с очень сильными внутренними связями», что внешние силы, приводящие его в движение, не могут его деформировать. Такой объект всегда сохраняет свою форму. Если мы описываем движение такого тела «без учета движения центра масс», то нам остается описать его вращения. Что такое вращение? Чем оно характеризуется? На рисунке показано тело, поворачивающееся на определенный угол ∆θ вокруг произвольной оси. Выберем систему координат таким образом, чтобы этой произвольной осью была ось Z, как на рисунке. Легко заметить, что вращение характеризуется величиной угла поворота. Мы можем ввести понятия угловой скорости и углового ускорения: Заметим, что формулы аналогичны формулам для поступательного движения К тому же мы помним из предыдущего изложения (а если не помним, то это легко увидеть из рисунка), что Что же будет играть роль силы во вращательном движении? Эта штука называется «Момент силы». Или просто «Момент». Это и есть «крутящая сила»! Заранее отметим, что эта штука векторная – существует «вектор момента силы». Как определить ее количественно? Мы определим ее через работу. Мы с вами помним, что вообще то работа - это такая универсальная физическая величина, которая показывает изменение энергии. А еще если мы знаем какая требуется работа для данного перемещения, то мы знаем и силу.               На рисунке ниже наше тело вращается относительно оси Z. Для маленького угла поворота ∆θ из точки P в точку Q                     Делим обе половины обеих уравнений на Δt             Собственно, тут мы узнаем формулу             Эта странная комбинация Fy * x - Fx * y и есть «Момент силы». Таким образом, работа при вращении определяется как момент, умноженный на угол поворота. В таком случае момент силы у нас определяется через силы.             Для множества сил общий момент – τ                      Но что такое x * Fy - y * Fx ? Вспомните, что есть векторное произведение r ×F для векторов, лежащих в плоскости XY ! Если правильно выбрать систему координат, как на рисунке ниже, то можно легко увидеть, что это выражение есть тангенциальная составляющая силы, умноженная на радиус вектор.             Если присмотреться к предыдущему рисунку, то можно также показать, что «Момент» = «Плечо»× «Сила» (векторное произведение векторов). Докажите это самостоятельно!             Для «нетвердого» тела — это тоже справедливо. Более того, это справедливо для любой системы тел, а также для множества частиц (например, для облака межзвездного газа или для целой галактики).             Мы помним, что внешняя сила равна скорости изменения вектора Р – полного импульса системы.             Так вот. Момент силы равен скорости изменения вектора L – «момента количества движения системы» (или «углового момента»).             Для произвольной частицы             Но легко доказать простым вычислением, или нахождением первообразной с помощью онлайн системы в интернете, что это выражение есть производная от             Где вектор  L - это и есть «момент количества движения» или, другими словами, «угловой момент».             Интересно, что для вектора L равенство              справедливо при любых скоростях (и для релятивистских, околосветовых скоростей тоже).             Повторимся. Мы показали, что у импульса и силы (из раздела поступательного движения) существуют «вращательные аналоги». У импульса – угловой момент. У силы – момент силы.             Ну а теперь пора открыть Закон Кеплера!             Рассмотрим движение планеты вокруг Солнца. Так как в этом случае центр вращения (обращения) находится практически в «центре» Солнца, то тангенциальная составляющая силы «практически» равна 0. Сила притяжения Солнца направлена строго по радиус вектору планеты.             Соответственно, момент силы равен 0. Тогда момент количества движения должен оставаться постоянным.             А так как масса у планеты постоянна, то             А что означает последнее равенство? То, что «площади, заметаемые планетой за равные промежутки времени одинаковы». Это, как известно, и есть закон Кеплера, который является всего лишь следствием закона сохранения момента количества движения. Или, по-другому, закона сохранения момента импульса.             И в заключение параграфа рассмотрим этот закон в случае множества частиц.             Пусть вектор  τ - полный момент сил. А вектор L - полный момент количества движения. Теорема: Скорость изменения момента количества движения относительно любой оси равна моменту внешних сил относительно этой же оси.             Эта теорема справедлива для любого количества частиц вне зависимости от того, образуют ли они твердое тело или нет.             Частный случай этой теоремы – наш Закон сохранения момента количества движения. «Если на систему частиц не действуют никакие внешние моменты сил, то ее момент количества движения остается постоянным.»             Для твердого тела, вращающегося вокруг оси, можно записать             Суммируем по i. Тогда полный момент количества движения равен             I – это «момент инерции» - своеобразный аналог массы для вращения.

14.2. Закон сохранения импульса

На первый взгляд очень простой закон. И все его знают. Если два тела взаимодействуют друг с другом (и никаких воздействий ни откуда извне не испытывают), образуя между собой замкнутую систему, то величина, называемая общим импульсом системы, постоянна. Например, импульс системы двух тел В школьной программе обычно рассматриваются два шарика с абсолютно упругим соударением. Похоже на поведение биллиардных шаров при соударениях. Можно догадаться, что и при серии столкновений множества шаров друг с другом вектор Pсистемы сохраняется. На биллиарде это не так. В том смысле, что там существует сила трения качения шаров о сукно. Да и столкновения шаров не абсолютно упругие. Кстати, что такое абсолютно упругое столкновение двух тел? Это столкновение, в котором нет потери импульса системы. Так, что тут у нас масло масляное. Можно объяснить более пространно. В момент абсолютно упругого столкновения двух тел не происходит перераспределения механической энергии движения этих тел в другие виды энергии, например, в деформацию тел или в их нагрев. В реальном мире таких столкновений нет. Во всяком случае в классической механике, не существует. Но это можно использовать в некоторых задачах в качестве приблизительного описания реального столкновения. Так, что мы при использовании этого закона, всегда должны определять, подходит нам для описания нашего явления модель абсолютно упругого столкновения в случае, если у нас задача «про биллиардные шары», назовем ее так условно. Но самое интересное, что закон сохранения импульса применим не только к задачам про столкновения чего-то с чем-то, а вообще во всех задачах на движение. И не только механических. Но об этом позже. Откуда берется закон сохранения импульса? Его очень сложно заметить из явлений обыденной жизни. Потому, что в реальных явлениях всегда присутствуют диссипативные силы, которые что-то тормозят, нагревают и вообще всячески запутывают реальную ситуацию. Оказывается, закон сохранения импульса вытекает из Второго закона Ньютона! Ньютон, как известно, сформулировал три свои замечательных закона, которые ознаменовали начало «золотой эпохи» классической механики. До него все подозревали, что только если приложить к предмету усилие, он изменит свое поведение, например, начнет двигаться быстрее или наоборот замедлится и остановится. А Ньютон сформулировал следующее: 1)     Первый закон Ньютона – (это, по сути, повторение принципа инерции Галилея) Тело, предоставленное само себе, если на него не действует никакая сила, сохраняет свое прямолинейное равномерное движение, если оно до этого так двигалось или остается в покое, если оно покоилось. Или в формулировке самого Ньютона «Всякое тело продолжает удерживаться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние.» 2)     Второй закон Ньютона описывает изменение скорости тела, если на него действует сила. В инерциальной системе отсчёта ускорение, которое получает материальная точка с постоянной массой, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил и обратно пропорционально её массе. Где  a – вектор ускорения, F – вектор равнодействующей всех сил, приложенных к телу массойm.  3)     Третий закон Ньютона в его формулировке звучит: «Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе — взаимодействия двух тел друг на друга между собою равны и направлены в противоположные стороны». Из этих Законов можно вывести закон сохранения импульса. Запишем Второй закон в дифференциальной форме: Согласно третьему Закону, для двух взаимодействующих друг с другом тел: Легко показать, что аналогичное утверждение справедливо и для множества взаимодействующих тел. Докажите самостоятельно! Для нас важно понять следующее: 1)     Закон сохранения импульса следует непосредственно из формулировки Законов Ньютона. 2)     Закон сохранения импульса точен только в приближении классической (нерелятивистской) механики (То есть, когда скорости тел в системе гораздо меньше скорости света. При очень больших скоростях изменяется масса, величина которой зависит от скорости относительного движения). Но не будем пока слишком углубляться в подробности. Отметим лишь, что для квантовой механики существует свой аналог закона сохранения импульсов. 3)     Очень важно понять, что этот закон в классической механике выполняется не только для столкновений, но и для любого воздействия тел друг на друга. Например, суммарный импульс Солнечной системы не изменяется. Подумайте над тем, правда это или нет! В качестве примера рассмотрим несколько упрощенный вариант классической «задачи двух тел» из астрономии. Две планеты (или звезды) двигаются под действием сил взаимного притяжения, как показано на рисунке. Вектор скорости одной планеты в нашей системе координат равна V, скорость другой равна -V и вектора перпендикулярны в определенный момент времени (будем называть его начальным) прямой на которой находятся центры масс наших планет. Так как распределение масс наших планет центральносимметрично, томы можем заменить их в нашей задаче материальными точками с массами m, расположенными в центрах масс. Расстояние между этими центрами равно сумме модулей векторов r1 и r2. В целом видно, что наша задача явно имеет центральную симметрию, относительно общего центра масс наших тел. Силы, действующие на планеты c массами m1 = m2, равны соответственно F1 и F2. Согласно третьему закону Ньютона: Где r1,2 – вектор расстояния от m1 до m2.              Согласно второму закону Ньютона:             Получаем систему из двух векторных дифференциальных уравнений:             Эта система векторных дифференциальных уравнений описывает поведение двух одинаковых взаимно притягивающих друг друга тел (материальных точек). Она решается аналитически, достаточно просто, хотя и несколько громоздко. Задаче двух тел посвящены целые книжки именитых профессоров. Любой прилежный студент физического факультета университета умеет решать подобные уравнения уже на втором курсе. Мы не будем решать в лоб эти уравнения, которые (Заметьте!), мы составили исходя лишь из знания Законов Ньютона. Наша задача провести качественный анализ данных уравнений и посмотреть, как можно правильно представлять движение системы, описываемой уравнениями движения, не решая эти уравнения непосредственно.             Первое, что мы можем заметить, это то, что уравнения содержат вектора. Соответственно, если мы распишем их  покомпонентно («покоординатно»), то у нас получится система из шести независимых уравнений (например, в прямоугольной системе координат) Мы этого здесь делать не будем, но возможно кто-то захочет попробовать это сделать.             Второе, мы заскочили несколько вперед, поскольку мы еще нигде не касались вопроса взятия производных или интегрирования векторов. Подробнее это будет рассмотрено в следующем томе, но кратко отметим, что производная от векторной функции это три производных от каждой из функций–компонентов вектора в соответствующей системе координат.             Пусть у нас есть вектор r1, тогда вторая произодная:                 А первая производная соответственно:             Таким образом, наша система уравнений просто распадается на систему из шести дифференциальных уравнений, полностью описывающих движение нашей системы двух тел. Пока этого знания нам вполне достаточно для понимания сути.             Сложим между собой векторные уравнения. Получим запись Третьего закона Ньютона: Силы равны по величине и противоположны по направлению. Если мы последовательно два раза проинтегрируем по времени t это векторное уравнение, то получим:     Чтобы понять, почему такой результат, самостоятельно распишите уравнения покомпонентно и проинтегрируйте в соответствии с ранее изложенными правилами в данном томе!             Понятно, что Вектора A = (Ax,Ay,Az), B = (Bx,By,Bz) – это просто постоянные вектора, т.е. вектора с постоянными компонентами по осям X,Y,Z, в данном случае.             Вектор A = (Ax,Ay,Az) – это вектор суммарного импульса системы. Заметьте, мы получили его постоянство из уравнений движения, которые были составлены на основе знания нами Законов Ньютона!             Последнее уравнение – это уравнение, описывающее траекторию движения тел. Оно не такое простое в общем случае, так как r1 и r2 зависят от времени t. Проанализируем его подробнее.             Выберем удобную (инерциальную!) систему координат. Помним, что наши Законы действительны только в инерциальной системе координат. В такой системе координат, в которой на тела не действуют никакие другие силы (тела в рассматриваемой системе не испытывают никаких внешних возмущений (ускорений)). Понятно?             Выберем систему координат, как на рисунке. Система координат выбрана нами таким образом, что все скорости и силы в начальный момент времени лежат в плоскости X,Y. И еще выбранная нами система координат покоится относительно центра масс тел в начальный момент времени Заметим, что система отсчета, связанная с центром массы m1, неинерциальная. Почему? Подумайте самостоятельно до конца данного раздела, можем ли мы связывать начало отсчета с центром масс одного из тел? Уравнение суммарного импульса системы в нашем случае еще упрощается.             Помним, что это сумма импульсов  В скалярной записи это выглядит так: Интересный вывод – компоненты скоростей направлены в противоположные стороны и равны по модулю. Следовательно: Векторы скоростей наших тел противоположны по направлению и равны по модулю. Помним, что Z компоненты скоростей и координат равны нулю. Почему? На самом деле, почему? Это не так очевидно. Во всяком случае, подумайте дальше, почему, начав двигаться в плоскости X,Y, тела и дальше не выйдут из этой плоскости под воздействием друг на друга! Наши тела будут двигаться в плоскости X, Y как-то так: Проинтегрировав последнее равенство, получаем: Собственно, этого (центральной симметрии) и следовало ожидать. Кстати, догадайтесь, куда делась постоянная, которая получается при интегрировании! Теперь рассмотрим движение с точки зрения закона сохранения энергии. Работа при перемещении тела вдоль силы тяжести на величину ∆r Аналогично для второго тела. Мы помним, что эта работа есть изменение потенциальной энергии тела в поле нашей силы. Положительное изменение (увеличение) расстояния приводит к увеличению потенциальной энергии. Нулевой уровень потенциальной энергии выберем при |r| = бесконечность. Т.е. за нулевой уровень потенциальной энергии принимаем бесконечно большое расстояние между телами. Я надеюсь, вы понимаете, почему нельзя принять за нулевой уровень |r| = 0, когда тела «сливаются» в центре масс? Потому, что на ноль делить нельзя. А у нас в формуле для силы притяжения расстояние в знаменателе. Зато деление на бесконечность просто дает ноль. Особенностью такого выбора будет то, что потенциальная энергия будет всегда отрицательная. Ноль наибольшее значение! Тогда, если просуммировать все элементарные работы по перемещению тела "из бесконечности" до |r|= |r1| (элементарные, в данном случае, означает за маленькие перемещения), мы получим значение потенциальной энергии тела на расстоянии  |r1| от центра масс. Можно «просуммировать по бесконечно маленьким перемещениям», тогда будет совсем точно. Мы с вами уже знаем, что «суммирование по бесконечно малым отрезкам» это есть интегрирование. А интегрировать мы умеем. Например, с помощью http://www.wolframalpha.com/ Причем r отсчитываем от центра масс. Тогда для первого тела:        Проанализируем последнее уравнение. Но сначала проверим его на размерности с помощью нашей таблицы размерностей:        Правильная формула! Мы понимаем, что последнее уравнение – это уравнение полной энергии для одного тела в нашей системе. Упростим уравнение: Что мы видим, глядя на это уравнение? 1)     С увеличением расстояния между телами скорость (модуль скорости) падает (помним, что - это половина расстояния между центрами масс наших тел). Но падает как и до какой величины? Скорость не может упасть меньше, чем         Скорость тела "в бесконечности", называется «остаточной скоростью» или «гиперболическим избытком скорости». Причем ее легко вычислить. Она зависит от модуля скорости и расстояния от центра масс в какой-то момент времени. Это понятно, я надеюсь. 2)     Если |r1| постоянно. Т.е. оба тела вращаются по одной круговой орбите вокруг центра масс, находясь все время по разные стороны. Тогда скорости тоже постоянны по модулю и равны между собой Но у нас есть формула для центростремительного ускорения для кругового движения: Приравниваем две скорости на данном расстоянии от центра масс. Круговую и произвольную скорости. Получили формулу полной энергии первого тела в нашей задаче для случая кругового движения. Она равна половине от потенциальной энергии нашего тела на данном расстоянии |r1| от центра масс. Проверим. У нас есть еще кинетическая энергия. Она равна             Вот такая интересная система двух тел, летящих по одной круговой орбите под действием притяжения друг друга. Заметьте! В том, что целое (Еполн1) меньше «составляющей» (Екин1) нет ничего удивительного. Мы так выбрали нулевой уровень потенциальной энергии, что она по величине все время меньше или равна нулю. В бесконечности потенциальная энергия максимальна и равна нулю. В других случаях меньше нуля. Кинетическая энергия всегда больше или равна нулю. Найдите сами расстояние между нашими планетами, на котором полная энергия системы в нашем выборе системы координат и нулевого уровня потенциальной энергии равна нулю!             Самостоятельно рассчитайте период обращения у такой системы тел!             И еще одно замечание. Наши формулы очень напоминают формулы, описывающие движение материальной точки по круговой орбите вокруг притягивающего центра. Самостоятельно разберитесь, в чем разница!